矩阵分析及其应用

矩阵分析简明教程第6章笔记

1. 矩阵序列与矩阵级数

1.1 矩阵序列

定义

设，其中 称由排成的序列为矩阵序列(matrix sequence)，记作

若当时，都收敛，且

则称矩阵序列收敛于矩阵，记作

定理1

设是上任意一种矩阵范数，则中矩阵序列收敛于矩阵的充要条件是

收敛矩阵定义

设，若，则称A为收敛矩阵

谱半径定义

设，为的特征值，称为A的谱半径

定理2

设，则为收敛矩阵的充要条件是

定理3

设，为的任何一种矩阵范数，则

推论：

设，为的任何一种矩阵范数，若，则为收敛矩阵

1.2 矩阵级数

定义

设是上的矩阵序列，称无穷和 为矩阵级数(matrix series) 称为矩阵级数的前n项部分和

矩阵级数的敛散性定义

设矩阵级数的部分和序列收敛，则矩阵级数是收敛的(convergent)

不收敛的矩阵级数则为发散的(divergent)

若矩阵级数的每一个位置元所成级数是绝对收敛的，则称矩阵级数是绝对收敛的(absolutely convergent)

矩阵幂级数定义

设矩阵，称 为矩阵幂级数

定理1

设幂级数的收敛半径为，则

• 当时，矩阵幂级数绝对收敛
• 当时，矩阵幂级数发散

幂级数的收敛半径为

Neumann级数定义

设，称 为Neumann级数

定理2

Neumann级数收敛，且当时，

2. 矩阵函数及其计算

2.1 矩阵函数

定义

若函数可以表示为幂级数 则定义矩阵函数 类似的，将的变元换成，其中为参数，则相应地可以定义

常见的矩阵函数

已知函数

相应地，定义矩阵函数

2.2 矩阵函数的计算

Jordan标准形方法

矩阵函数的计算公式 其中

待定系数法

定义

设，的特征值为，最小多项式为

设函数，则 称为关于矩阵的谱上的值

定理

矩阵函数的充要条件是和关于的谱上的值相等，即 亦即

3. 矩阵的微分与积分

3.1 函数矩阵

已知

可定义

以矩阵为自变量，称之为矩阵的函数，简称为矩阵函数

定义

称变量的矩阵 为函数矩阵

3.2 函数矩阵的微积分

定义

设函数矩阵的位置元均可微(可积)，则的微分为 的积分为

性质

设为同阶可微矩阵，则 设分别为的可微矩阵，则 设为可微矩阵，则

4. 矩阵函数的应用

定理

一阶常系数微分齐次微分方程组 的解为 一阶常系数微分非齐次微分方程组 的解为