线性空间与线性变换

矩阵分析简明教程第1章笔记

1. 线性空间的基本概念

1.1 数域

定义

设是复数集的一个子集，满足

• 是一个数集
• 至少包含0和1
• 关于数的和、差、积、商等运算是封闭的

则是一个数域

常见数域：

1.2 线性空间

定义

设是一个非空集合，其中的元素称为向量；是数域，其中的元素称为数或纯量

若在中定义两个运算

• 向量与向量的加法，使得有
• 数与向量的数乘，使得有

且满足如下定理：

• 对于加法有
• 对于数乘有

则称是数域上的一个线性空间(linear space)或向量空间(vector space)

基本性质

定理：设是数域上的线性空间，则

• 中的零向量唯一
• 中的任何向量的负向量唯一
• 当且仅当(数0)或(零向量)

1.3 线性空间的基和维数

定义

设是数域的线性空间，若存在一个有限元素的部分组满足

• 线性无关
• 中任意一个向量可以由线性表示

则称为的一组基(basis)，称为的维数(dimension)，记作

• 基 = 线性空间的一个极大线性无关组
• 维数 = 基向量的个数
• 零空间的维数
• 在维线性空间中，任意个线性无关的向量组都是它的一组基，且任何个向量都是线性相关的

基的作用

定理：设是线性空间的基，则的任一向量都可以由基元素唯一表示，即

坐标

设是线性空间的基，的向量可以由基唯一线性表示为

则称有序数组为向量在基下的坐标(cordinate)，记作

• 记号

• 向量与坐标是一一对应的关系

• 同一向量在不同的基底下的坐标不相等

1.4 基变换和坐标变换

基变换的定义

设和是线性空间V的两组基

故 称矩阵为基到基(的过渡矩阵

同时有基(到基的过渡矩阵，即

基变换的定理

设是线性空间的一组基，是数域的一个阶方阵， 则向量组是的基当且仅当可逆

坐标变换的定义

设向量分别在两组基和下的坐标为和，即 又因为

故

则同一向量在不同基下的坐标之间的关系为

2. 子空间与维数定理

2.1 子空间

定义

设是数域上的线性空间，是的非空子集

若对中的加法和数乘构成数域上的线性空间

则称是的线性子空间(subspace)

• 子空间中的两种运算是原线性空间的运算
• 子空间本身是线性空间
• 零空间和都是的子空间，称为平凡子空间

子空间的判定定理

设是数域上的线性空间，是的非空子集，若对中的加法和数乘两种运算封闭，即

则是的子空间

相当于只需证明即可证明对两种运算封闭

2.2 生成子空间

定义

设是线性空间的一组向量，令 则是的子空间，称为由生成的子空间，记作或

命题

若线性无关，则为其生成子空间的基

若是向量组的极大线性无关组，则

• 是的一组基

若是线性空间的一组基，则

2.3 子空间的运算

定义

设和是线性空间的子空间，则定义

• 交(intersection)：
• 并(union)：
• 和(sum)：

定理

设和是线性空间的子空间，则

• 交是子空间，称为交空间
• 并可构成子空间，当且仅当或
• 和是子空间，称为和空间

2.4 基的扩张定理

设是维线性空间的子空间，，为的一组基

则存在个中的向量，使得为的一组基

2.5 维数公式

定理

设和是线性空间的子空间

则

交空间与和空间满足

2.6 子空间的直和

定义

设和是数域上线性空间的子空间

若中每个向量都能唯一表示成

则称是与的直和(direct sum)，记作

• 子空间的直和仍然是和：
• 有两个含义
  • 和“+”
  • 交空间为零空间

定理

设和是线性空间的子空间，则下列命题等价

• 与的和是直和
• 零向量分解唯一，即若，则有

3. 线性空间的同构

3.1 函数

给定数集，若对于中的每个元素，在中都有唯一的元素与之对应

则称此对应关系为由数集到的函数，记为或

3.2 映射的概念

给定集合，若对于中的每个元素，在中都有唯一的元素与之对应

则称此对应关系为由集合到的映射，记为或

称为映射的像集

设映射

• 若，则称是满射
• 若，则称是单射
• 若既是单射又是满射，则称是一一映射

• 若是一一的，则其逆映射存在，且也是一一的
• 若是一一的，则复合映射或也是一一的

3.3 线性空间的同构

定义

设和是线性空间，若存在双射对满足

则称线性空间和是同构的，称为到的同构映射

性质

设为同构映射，则

• 若为的基，则为的基

定理

• 同构映射的逆映射是同构映射
• 两个同构映射的乘积仍然是同构映射

同构关系满足

• 自反性：与其自身同构
• 对称性：若与同构，则与同构
• 传递性：若与同构，与同构，则与同构

数域上的维线性空间同构于

数域上有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相等

4. 线性变换及其矩阵表示

4.1 线性变换

定义

设是数域上的线性空间，映射满足

则称映射是线性变换

常见的线性变换

1. 设矩阵，定义映射，则是上的线性变换
   • 特别的：直线函数为上的线性变换
2. 在多项式空间上定义映射，则是上的线性变换，称之为微分变换，称为微分算子
3. 在连续函数空间上定义映射，则是上的线性变换，称之为积分变换，称为积分算子
4. 设是数域上的线性空间
   • 定义零变换
   • 定义恒等变换

4.2 线性变换的核和像空间

定义

设是线性空间上的线性变换

分别称为的核(kernel)和像(image)

命题

线性变换的核和像均为线性空间

和又称之为核空间和像空间

且和为的子空间

定理

设是线性空间上的线性变换，则

• 线性相关也线性相关

上述定理表明，线性变换

• 通过原点
• 映负元为负元
• 映线性组合为线性组合
• 映线性相关向量为线性相关向量

4.3 线性变换的相等

定义

设是线性空间上的线性变换

若

则称与相等，记为

定理

设是线性空间的一组基

则上线性变换与相等的充要条件为

确定两个线性变换相等仅需有限个点

设是线性空间的一组基，为任意给定的向量

则存在唯一的线性变换，使得

4.4 线性变换的矩阵

定理

设是线性空间上的线性变换，是的一组基

则

定义

设是线性空间上的线性变换，是的一组基，基元的像

写成矩阵乘积的形式 即

矩阵称为线性变换在基下的矩阵

4.5 线性变换在不同基下的矩阵

定理

设是线性空间上的线性变换，有两组基与 则与相似，且

• 线性变换在不同基下的矩阵相似
• 相似的矩阵可看做同一个线性变换在不同基下的矩阵