矩阵的标准形

矩阵分析简明教程第3章笔记

1. Jordan标准形

1.1 Jordan标准形

Jordan块定义

形如下列形式的矩阵称为阶Jordan块

Jordan型矩阵定义

形如下列形式的矩阵称为阶Jordan型矩阵 其中为阶的Jordan块，且

• 对角矩阵也是Jordan型矩阵
• 对角阵的Jordan标准形为其本身

定理

每个阶复方阵都和一个Jordan型矩阵相似

即存在可逆阵，使 称矩阵为的Jordan标准形

1.2 计算Jordan标准形的方法一

特征矩阵定义

称下列-矩阵为的特征矩阵

行列式因子定义

中所有阶子式首项系数为1的最大公因式

称为的级行列式因子，记为

• (能够整除，即是的因子)

不变因子定义

称为的不变因子

初等因子定义

将的所有次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积

所有这些一次因式方幂称为的初等因子

来自不同的不变因子的一次因子方幂不能合并

初等因子与Jordan块一一对应

Jordan标准形与Jordan块的顺序无关

复方阵的Jordan标准形在不考虑Jordan块顺序的情况下唯一

2. -矩阵及其Smith标准形

2.1 -矩阵概念

定义

形如下列形式的矩阵称为-矩阵 其中位置元为多项式

• 阶数字矩阵的特征矩阵是一个特殊的-矩阵，它的秩为
• 任何一个-矩阵都和一个Smith标准形等价，即经过有限次初等变换可化为Smith标准形

逆矩阵定义

若-矩阵满足

则称是可逆的，且称为的逆矩阵

定理（可逆）

-矩阵可逆当且仅当为非零常数

-矩阵的运算、行列式、子式、余子式、伴随矩阵等概念与数字矩阵一致

秩定义

-矩阵的不恒为零多项式的子式的最高阶数称为的秩，记为

初等变换定义

• 交换两行(列)，记作
• 第行(列)乘以非零数，记作
• 第行(列)加上第行(列)的倍，记作

等价定义

若-矩阵经过若干次初等变换变为

则称与等价，记为

定理（等价）

-矩阵的初等变换不会改变其秩

等价的-矩阵的秩相等

2.2 -矩阵的Smith标准形

定理

-矩阵都可经过若干次初等变换化为Smith标准形

即秩为的的-矩阵与矩阵等价 其中是首一多项式，且

矩阵称为的Smith标准形

2.3 -矩阵的三种因子

设-矩阵

行列式因子定义

中所有阶子式首项系数为1的最大公因式

称为的级行列式因子，记为

不变因子定义

设 称为的不变因子

初等因子定义

将的所有的次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式方幂的乘积

所有这些一次因式方幂称为的初等因子

三种因子的关系

行列式因子与不变因子 不变因子与初等因子

设的各阶不变因子在复数域的标准分解式为 即为的初等因子

定理

初等变换不改变-矩阵的各级行列式因子

推论

等价的-矩阵有相同的行列式因子

等价的-矩阵有相同的不变因子

等价的-矩阵有相同的初等因子

设-矩阵的Smith标准形为 或的不变因子为：

定理

-矩阵的Smith标准形是唯一的

2.4 计算Jordan标准形的方法二

2.5 Jordan标准形基本定理

每一个阶复方阵都和一个Jordan型矩阵相似

即存在可逆阵，使

2.6 矩阵相似的条件

定理

数字矩阵A相似于B特征矩阵等价于

方阵相似于的充要条件为以下其一：

• 相同的行列式因子组
• 相同的不变因子组
• 相同的初等因子组

基本定理

任何复方阵都和一个Jordan标准形相似

3. Cayley-Hamilton定理与矩阵的最小多项式

3.1 多项式矩阵

设为阶方阵，多项式

定义矩阵多项式

3.2 Cayley-Hamilton定理

设为阶方阵，，则

3.3 零化多项式

定义

设为阶方阵，若多项式满足

则称为的零化多项式

定理

特征多项式即为矩阵A的零化多项式

零化多项式不唯一，且没有次数最高的零化多项式

3.4 最小多项式

定义

设为阶方阵，称的次数最低的首一零化多项式为的最小多项式，记为

定理

最小多项式可以整除任何零化多项式

矩阵的最小多项式是唯一的，特别的，最小多项式可以整除特征多项式

矩阵的最小多项式和特征多项式有相同的根，但重数不相同

矩阵的特征多项式 最小多项式的形式如下

最小多项式是的特征矩阵的第个不变因子，即